GÉOMÉTRIE ET ANTENNES SATELLITES

On trouve sur nos toits ou nos blacons des antennes pour recevoir la télévision par satellite, qu'on appelle « antennes paraboliques » ou même « paraboles ». Mais d'où vient ce nom ?
De la forme de l'antenne : l'espèce d'assiette qui la compose est en fait un paraboloïde. C'est la surface obtenue en faisant tourner la courbe dessinée en rouge sur la figure ci-contre autour de l'axe (OF) reliant le centre de l'assiette O au récepteur F. Le mot parabole désigne la courbe rouge.
Mais alors cette courbe rouge n'est pas un arc de cercle ? Pourtant on a bien l'impression que les antennes paraboliques sont des morceaux de sphères... Eh bien, non ! et ce n'est pas dû au hasard ni à l'originalité d'un mathématicien. La parabole a été choisie parce-qu'elle possède une propriété remarquable vis-à-vis de la réflexion des ondes.

Il faut tout d'abord définir ce dont on parle : une parabole est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point F (le foyer) et d'une droite D (la directrice). Cela signifie qu'un point M appartient à la parabole si (et seulement si) la distance MF est égale à la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
Sur la figure de gauche, le point M₁ est situé sur la parabole car la distance M₁F est égale à la distance M₁H₁. De même pour le point M₂.
Cette façon de définir une courbe est courante en mathématiques. On connaît bien l'exemple de la médiatrice, définie comme l'ensemble des points situés à égale distance de deux points fixés.

Quand une onde vient frapper la surface de l'antenne, elle est réfléchie comme le sont les rayons lumineux sur un miroir. Ce phénomène est décrit par la loi de Descartes. La figure ci-contre montre le trajet d'un rayon lumineux quand il percute un miroir plan : l'angle i est appelé angle d'incidence; r est l'angle de réflexion. La loi de Descartes affirme que ces deux angles sont égaux.

La loi de Descartes s'applique aux miroirs plans, dont notre antenne parabolique ne fait justement pas partie... Alors, on jette ? Évidemment pas. La réflexion s'opère comme si on remplaçait l'assiette parabolique de l'antenne par un miroir plan. Mais pas n'importe quel plan : précisément celui qui est le plus proche de l'assiette autour du point d'impact.
Sur le schéma de gauche, on a noté M et M₁ deux points très voisins sur la parabole. Alors la droite (MM₁) est proche de la parabole dans la région des points M et M₁.
Si on rapproche beaucoup M₁ de M, le segment [MM₁] devient indiscernable de l'arc MM₁. A la limite, quand le point M₁ a rejoint M, la droite obtenue est appelée tangente à la parabole en M.

Notre démonstration prouve que tout rayon arrivant dans la direction perpendiculaire à la directice se réfléchit au foyer F.
C'est dans cette situation qu'on se trouve dans le cas de l'antenne de télévision. L'information provient du satellite qui est situé très loin, on peut donc supposer que tous les rayons sont parallèles. Il suffit alors de s'arranger pour orienter l'antenne perpendiculairement à cette direction et le tour est joué. En effet tous les rayons réfléchis passent par le foyer, où on aura pris soin de placer le récepteur. De cette manière, on est sûr de recueillir les ondes émises par le satellite pour les interpréter ensuite sous forme d'images.
Tout cela explique qu'on ait choisi des paraboles pour construire des antennes. Si on utilisait des antennes sphériques, le récepteur ne concentrerait pas une quantité suffisante d'ondes pour décoder l'information.
La démonstration qu'on a faite fonctionne dans les deux sens : un rayon émis depuis le foyer se réfléchit sur la parabole perpendiculairement à la directrice. C'est pourquoi on utilise aussi les antennes paraboliques pour emettre des signaux au loin.